1. 证明 $\forall i, j \in S: 0 \le g_{ij} \le f_{ij}$.

对于 $f_{ij}$, 考虑

对于 $g_{ij}$, 考虑

于是有

2. 证明 $f_{ji} = 1$.

于是

由 $i$ 常返, 即 $f_{ii} = 1$, 得

从而 $1 = g_{ji} \le f_{ji} \le 1$, 即 $f_{ji} = 1$, 且 $j \to i$.

3. 证明 $j$ 常返.

由 $i \rla j$, 设 $p_{ji}^{(r)} = \alpha > 0, p_{ij}^{(s)} = \beta > 0$, 则

于是

即 $j$ 常返. 证毕.